B] Altre proposte
B.1] Le frazioni per approssimare radici quadrate
B.2] Frazioni e musica: la scala pitagorica

B.1] Le frazioni per approssimare radici quadrate
    Si può approssimare la radice quadrata di un numero con numeri decimali finiti; ma l'attività seguente ha il fascino di legare la radice quadrata (vista come media geometrica di due qualsiasi fattori del numero, che abbiano come prodotto il numero stesso), con le medie di numeri razionali, in modo indipendente dalla base; l'attività acquista valenza culturale nella matematica perché coinvolge media aritmetica, geometrica ed armonica e ne richiede un confronto, lavora sui numeri razionali in modo indipendente dalla base di numerazione, e permette di apprezzare un altro algoritmo molto antico e molto efficiente, mettendo in discussione la credenza ingenua che ciò che è antico è sempre 'obsoleto'.

ATTIVITA'

     I Babilonesi usavano questo metodo per calcolare le radici quadrate dei numeri interi:

i) si voglia calcolare la radice quadrata del numero intero n

ii) si scrive n=ab, con a <=b ; se a=b ho finito; sia a<b (conviene scegliere a quanto più 'vicino' possibile a b)

iii)  la radice di ab è la media geometrica di a e b, che è minore della media aritmetica, in quanto a<b

iv) dunque la media aritmetica (a+b)/2 è un'approssimazione per eccesso della radice cercata, e la media armonica 2ab/(a+b) un'approssimazione per difetto

v) sostituiamo la media armonica e quella aritmetica ad a e b rispettivamente e ricominciamo daccapo

vi) si costruisce così una 'scatola cinese' di numeri razionali (ci si può aiutare con dei programma in Javascript per la somma e il prodotto di numeri razionali rappresentati sotto forma di frazione); esempio:
forma frazionaria
 forma decimale
(1;2)
(1;2)
(4/3;3/2)
(1,(3); 1,5)
(24/17; 17/12) (1,(4117647058823529); 1,41(6))
(816/577; 577/408) (1,41421143847487001733102253032928...; 1,414(2156862745098039))
(941664/665857; 665857/470832) (1,4142135623715001869770836681149255...; 1,414213562374689910626295578890134910...)
                 ....                     ....

    Si noti la velocità di convergenza dell'algoritmo: al quinto passaggio, con frazioni di numeri interi a sei cifre, abbiamo approssimazioni decimali con la undicesima cifra decimale esatta.          

B.2] Frazioni e musica: la scala pitagorica
    Le frazioni hanno un'importanza fondamentale nella fisica del suono e nella scala musicale. La vibrazione di una corda tesa con gli estremi fissati produce un suono di una certa fequenza, che chiamiamo fondamentale. Se fissiamo il punto medio della corda, la vibrazione di ognuna delle due metà produce un suono di fequenza doppia, che corrisponde al suono dell'ottava superiore. Se invece fissiamo un punto posto a 2/3 della corda, la parte più lunga, vibrando, produce un suono di frequenza uguale ai 3/2 della fequenza della corda intera; è quello che in musica si chiama "intervallo di quinta". Se la corda intera producesse un Do, i 2/3 di corda produrrebbero un Sol. I Greci costruirono la scala pitagorica individuando i successivi intervalli di quinta, e riportandoli all'ottava inferiore dividendo per 2 la fequenza se necessario, per riportare i suoni tra l'ottava di partenza e quella immediatamente superiore; in altri termini le frazioni, con opportune moltiplicazioni per 3/2 e divisioni per 2 quando necessario, dovevano essere tutte comprese tra 1 e 2; in questo modo si ottenevano i seguenti suoni, supponendo che la fequenza fondamentale fosse quella di un Do:


Nota
 frequenza (rapportata a quella fondamentale)
Do
 1
Sol
 3/2
Re
 (9/4):2=9/8
La
 27/16
Mi
 81/64
Si
 243/128

    Per ottenere il Fa si scende di una quinta, corrispondente alla frazione 2/3, e si sale di un'ottava per ottenere 4/3, che è ancora una frazione compresa tra 1 e 2. Facendo vibrare una corda sezionata in queste posizioni si ottengono i suoni della scala pitagorica. E' possible ascoltare questi suoni anche col comando sound(#) del PASCAL, che riproduce un suono di frequenza (espressa in Hertz) uguale a '#'.

    Si può approfondire sul sito di Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Scala_pitagorica