Il gruppo "matematica come scoperta" del Prof. Prodi propone la probabilità classica come primo modulo didattico della scuola superiore. L'approccio ha certamente il vantaggio di rivedere sotto una vesta nuova un argomento (quello delle frazioni) considerato come già noto, e quindi affrontato spesso con scarsa motivazione. Al liceo Buonarroti questo percorso viene regolarmente affrontato da diversi anni. E' possibile proporre alcuni problemi di probabilità come attività di problem solving anche prima di introdurre l'argomento, anzi come motivazione all'introduzione dell'argomento stesso: si tratterà lavorare sulle frazioni in un contesto reale e talvolta originale.  Il riferimento principale è al testo di Prodi: ______________


C.2 (I numeri irrazionali quadratici e le) frazioni continue

    Si tratta di un percorso condotto al Liceo Buonarroti in una classe seconda; è un ulteriore esempio dei possibili sviluppi dell'argomento sulle frazioni.

Prima fase

    Nella prima fase si scopre come ogni frazione possa essere scritta come 'frazione continua', cioè un numero intero più l'inverso di... un numero intero più l'inverso di... fino a trovare, dopo un numero finito di passaggi, un numero intero più l'inverso di un numero intero.

Esempio:


    Applicando l'algoritmo euclideo ai numeri 31 e 11 si ottiene:

1° numero	2° numero	quoziente	resto
31	11	2	9
11	9	1	2
9	2	4	1

    E' chiaro il legame tra quozienti e resti delle divisioni successive nell'algoritmo euclideo applicato ai numeri 31 e 11, e i numeri che compaiono nella rappresentazione in frazione continua di 31/11.

    Alla frazione 31/11 si associa la terna (2;1;4) dei quozienti delle divisioni successive; ad ogni frazione corrisponde una frazione continua finita; viceversa, a partire da una lista ordinata (finita) di numeri si può costruire una frazione continua e quindi una frazione corrispondente.

Seconda fase.

    Nella seconda fase si ricostruisce una frazione partendo da una lista finita di numeri e passando attraverso la frazione continua individuata da tale lista; si eslpora anche il comportamento di frazioni equivalenti rispetto alle corrispondenti frazioni continue.

Terza fase

    Nella terza fase si indaga sulla possibilità di esprimere radicali quadratici con frazioni continue. Per esempio, , che è compresa tra 1 e 2, si può scrivere come ; risolvendo, risulta che ; dunque l'equazione diventa: