Il gruppo
"matematica come scoperta" del Prof. Prodi propone la
probabilità classica come primo modulo didattico della scuola
superiore. L'approccio ha certamente il vantaggio di rivedere sotto una
vesta nuova un argomento (quello delle frazioni) considerato come
già noto, e quindi affrontato spesso con scarsa motivazione. Al
liceo Buonarroti questo percorso viene regolarmente affrontato da
diversi anni. E' possibile proporre alcuni problemi di
probabilità come attività di problem solving anche prima di
introdurre l'argomento, anzi come motivazione all'introduzione
dell'argomento stesso: si tratterà lavorare sulle frazioni in un
contesto reale e talvolta originale. Il riferimento principale
è al testo di Prodi: ______________
C.2 (I numeri
irrazionali
quadratici e le) frazioni continue
Si tratta di un percorso condotto al Liceo
Buonarroti in una classe seconda; è un ulteriore esempio dei
possibili sviluppi dell'argomento sulle frazioni.
Prima fase
Nella prima fase si scopre come ogni frazione
possa
essere scritta come 'frazione continua', cioè un numero intero
più l'inverso di... un numero intero più l'inverso di...
fino a trovare, dopo un numero finito di passaggi, un numero intero
più l'inverso di un numero intero.
Esempio:
Applicando l'algoritmo euclideo ai numeri 31 e 11 si
ottiene:
1° numero
2° numero
quoziente
resto
31
11
2
9
11
9
1
2
9
2
4
1
E' chiaro il legame tra quozienti e resti delle
divisioni successive nell'algoritmo euclideo applicato ai numeri 31 e
11, e i numeri che compaiono nella rappresentazione in frazione
continua di 31/11.
Alla frazione 31/11 si associa la terna (2;1;4) dei
quozienti delle divisioni successive; ad ogni frazione
corrisponde una frazione continua finita; viceversa, a partire da una
lista
ordinata (finita) di numeri si può costruire una frazione
continua e quindi una frazione corrispondente.
Seconda
fase.
Nella seconda fase si ricostruisce una
frazione partendo da una lista finita di numeri e passando attraverso
la frazione continua individuata da tale lista; si eslpora anche il
comportamento di frazioni equivalenti rispetto alle corrispondenti
frazioni continue.
Terza fase
Nella terza fase si indaga sulla
possibilità di esprimere radicali quadratici con
frazioni continue. Per esempio, , che è compresa tra 1 e 2, si può
scrivere come ; risolvendo,
risulta che ; dunque l'equazione
diventa:
,
da cui si capisce il suo
carattere periodico, e lo sviluppo in frazione continua (illimitata)
Sostituendo 1/2 ai puntini dopo diversi passaggi, gli studenti trovano
approssimazioni per difetto e per eccesso di .
Quarta
fase.
Ai ragazzi è stato proposto di trovare la
frazione continua relativa a ; il procedimento
è più complesso e porta ad una rappresentazione periodica
del tipo
.
Quinta fase.
Vengono infine proposte frazioni continue
costruite a partire da equazioni di secondo grado complete, sostituendo
all'equazione
x2+bx+c=0
(si considera a=1) quella
equivalente
x=b+c/x.
In particolare è stata studiata l'equazione della sezione
aurea,
x2=x+1;
le frazioni continue 'ridotte',
approssimazioni della soluzione, forniscono il rapporto tra un numero
di Fibonacci eil suo precedente, e quindi forniscono tutti i nuemri di
Fibonacci.